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1z=x+iy x, yは実数として、複素数平面を二次元実ベクトル空間xy平面と同一視する。x=sint, y=cos2t 0=t=πの図形を描いてください。cos2t=cost^{2}-sint^{2}=1-2sint^{2}=1-2x^{2} 0=x=1なので、y=1-2x^{2} 0=x=1となる放物線の一部である。2argz=θとおく。z=ze^{iθ}という極座標表示がされるので、zcosθ=sint, zsinθ=cos2tとなる。したがって、z=√sint^{2}+cos2t^{2}=√4sint^{4}-3sint^{2}+1となる。ここで、u=sint^{2}とおくと、0=t=πなので、0=u=1となる。fu=4u^{2}-3u+1とおくと、fu=4u-3/8^{2}+7/16となる。0=u=1に置けるfuの最小値は、u=3/8のとき、7/16最大値は、u=1のとき、2である。したがって、√7/4=z=√2となる。tanθ=zsinθ/zcosθ=cos2t/sint=1/sint -2sintとなる。v=sintと置くと、0=t=πより、0=v=1となる。tanθ=v^{-1}-2v 0=v=1となる。gv=v^{-1}-2vとおく。g'v=-v^{-2}-20となるので、gvは単調減少。lim[v→0+]gv=+∞g1=-1したがって、-1=tanθなので、-π/4=θ=π/2となる。3z=coss+isinssint+icos2tは、複素数値関数sint+icos2tをs回転したものを表す。つまり、放物線y=1-2x^{2} 0=x=1を原点中心にs回転したものを表す。0=s2πなので、y=1-2x^{2} 0=x=1を原点中心に1回転した時の図形の面積を求めればいいことになる。つまり、原点と放物線との最長距離√2と最短距離√7/4に注目し、y=1-2x^{2} 0=x=1を原点中心に1回転した時の図形は、最長距離√2を半径にもつ円から最短距離√7/4を半径にもつ円を除いた領域となる。したがって、求める面積は、2π-7/16π=25/16πとなる。

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